样本方差分母为什么是n-1

Math 概率论

创建时间:2019-08-31 12:40

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参数估计中的无偏性
参考

样本方差如下

$S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \overline{X}^{2}\right)$

直觉告诉我们似乎分母应该是n，但实际上是n-1，为什么呢？

参数估计中的无偏性

设a是未知参数b的估计量，若E(a)=b，则称a是b的无偏估计，否则是有偏估计。

样本均值：　$\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$

易得

$E(\overline{X})=\mu, D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$ $D\left(X_{i}\right)=D(X)=\sigma^{2}(i=1,2, \cdots, n)$ $\begin{array}{c}{E\left(X_{i}^{2}\right)=D\left(X_{i}\right)+\left[E\left(X_{i}\right)\right]^{2}=\sigma^{2}+\mu^{2}(i=1,2, \cdots, n)} \\ {E\left(\overline{X}^{2}\right)=D(\overline{X})+[E(\overline{X})]^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}}\end{array}$

则有

$\begin{aligned} E\left(S^{2}\right) &=E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right]=\frac{1}{n-1} E\left[\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \overline{X}^{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}^{2}\right)-n E\left(\overline{X}^{2}\right)\right]=\frac{1}{n-1}\left[n\left(\mu^{2}+\sigma^{2}\right)-n\left(\mu^{2}+\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\right] \\ &=\frac{1}{n-1}(n-1) \sigma^{2}=\sigma^{2} \end{aligned}$

所以样本方差为总体方差的无偏估计

形象理解ｎ－１

参数估计除了需要保证采样随机，还需要保证样本之间相互独立，在统计上用自由度（Degrees of freedom），计算样本方差时引入了样本均值，减小了一个自由度，导致样本方差减小（因为均值和样本之间不具有独立性，是折中），所以需要调整分母为ｎ－１修正。

参考

１．形象化理解可参考知乎问答

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