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• 向量正交
• 正交函数
  • 三角函数集合
  • 指数函数集合
• 傅里叶变换
  • 离散傅里叶变换DFT
• 拉式变换
• z变换
• 引用

用正交函数理解傅里叶变换，详细推到请看⁴

向量正交

向量正交：两个向量内积为0

$$\langle {\bf{a} },{\bf{b} }\rangle = 0$$

一个向量可以分解到一组正交基上（坐标系）

向量a在向量b上的投影长度

$$c = { {\langle {\bf{a} },{\bf{b} }\rangle } \over {\langle {\bf{b} },{\bf{b} }\rangle } }$$

如果$b$是坐标轴上的单位向量或者方向沿着坐标轴方向，则$c$就是对应的坐标

正交函数³

函数正交：两个函数内积为0,这是向量内积的推广,向量的元素足够多推广到积分

$$\langle f,g\rangle = 0$$

引入函数内积，在向量内积的基础上变成了积分（对应点的内积），这里是复变函数内积

$$\left\langle g_{i}, g_{j}\right\rangle=\int_{i_{i}}^{t_{2}} g_{i}(t) \cdot g_{j}^{*}(t) d t$$

一个函数f在另一个函数g上的投影

$$c_{i}=\frac{\left\langle f, g_{i}\right\rangle}{\left\langle g_{i}, g_{i}\right\rangle}=\frac{1}{k_{i}} \int_{t}^{t_{i}} f(t) \cdot g_{i}(t) d t$$

一个函数可以分解到一组完备正交函数集合上，三角函数集合和指数函数集合都是完备正交函数集合

三角函数集合

三角函数分解如下, 正交性证明可以通过和差化积变换

$$\begin{array}{l}{f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \cos n \omega_{1} t+\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} \sin n \omega_{1} t} \\ {a_{0}=\frac{\langle f, 1\rangle}{\langle 1,1\rangle}=\frac{1}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) d t} \\ {a_{n}=\frac{\left\langle f, \cos n \omega_{1} t\right\rangle}{\left\langle\cos n \omega_{1} t, \cos n \omega_{1} t\right\rangle}=\frac{2}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) \cdot \cos n \omega_{1} t d t} \\ {b_{n}=\frac{\left\langle f, \sin n \omega_{1} t\right\rangle}{\left\langle\sin n \omega_{1} t, \sin n \omega_{1} t\right\rangle}=\frac{2}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) \cdot \sin n \omega_{1} t d t}\end{array}$$

其中

$$\omega_{1}=\frac{2 \pi}{T_{1}}$$

指数函数集合

连续函数正交基: $e^{jwnt}, n \in \mathbb{Z}$,n为整数
周期为$T_1$函数指数函数分解如下

$$\begin{aligned}\left\langle e^{j n \omega_{1} t}, e^{j m \omega_{1} t}\right\rangle &=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} e^{j n \omega_{1} t} \cdot e^{-j m \omega_{1} t} d t \\ &=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} e^{j(n-m) \omega_{1} t} d t=\left\{\begin{array}{ll}{T_{1}} & {n=m} \\ {0} & {n \neq m}\end{array}\right.\end{aligned}$$

则对应的函数分解为

$$\begin{array}{l}{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_{n} e^{j n \omega_{1} t}} \\ {F_{n}=\frac{\left\langle f(t), e^{j n \omega_{1} t}\right\rangle}{\left\|e^{j n \omega_{1} t}\right\|_{2}}=\frac{1}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) e^{-j n \omega_{1} t} d t}\end{array}$$

信号角度理解

1个周期为T的信号$g=g_1+g_2$,其中周期信号$g_1, g_2$周期分别为$T_1,T_2$,那么信号$g$的周期$T$为$T_1,T_2$最小公倍数,证明如下
$g_1(x+T_1)=g_1(x),g_2(x+T_2)=g_2(x)$
$g_3(x+T)=g_3(x)$
即有

$$g_1(x+T)+g_2(x+T)=g_1(x)+g_2(x)$$

因为$g_1,g_2$无关,所以需要分别相等,即$g_1(x+T)=g_1(x)$,$g_2(x+T)=g_2(x)$,所以有$T=n_1T_1=n_2T_2$,可以扩展到n的信号的组成
所以信号的基频率为$f=\frac{2\pi}{T}$, 其余信号的频率为基频的倍数$f_1=n_1f,f_2=n_2f$, 即周期为T的信号对应指数正交基为$e^{jn\frac{2\pi}{T}t}$(每个基对应基频倍数的三角函数)
即有

$$\begin{array}{l}{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_{n} e^{j n \omega t}} \\ {F_{n}=\frac{\left\langle f(t), e^{j n \omega t}\right\rangle}{\left\|e^{j n \omega t}\right\|_{2}}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-j n \omega t} d t}\end{array}$$

其中$w=\frac{2\pi}{T}$, 非三角函数信号如方波分解也是基频倍数频率的三角函数
对于非周期信号可以认为${T} \to \infty$,对应$w$连续

傅里叶变换

周期无穷大，$\mathop {\lim }\limits_{ {T_1} \to \infty } {1 \over { {T_1} }} = {1 \over {2\pi } }dw$. 加和变成了积分，时间从0开始到无穷大，如下式所示，内层就是傅里叶变换，外层就是反变换

$$\begin{array}{l}{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) e^{-j n \omega_{1} t} d t e^{j n \omega_{1} t}} \\ {f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t e^{j \omega t} d w}\end{array}$$

窗函数¹表达式如下

$$\operatorname{rect}\left(\frac{t}{a}\right)=\Pi\left(\frac{t}{a}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { if }|t|>\frac{a}{2} \\ \frac{1}{2}, & \text { if }|t|=\frac{a}{2} \\ 1, & \text { if }|t|<\frac{a}{2} \end{array}\right.$$

时域窗函数傅里叶变换

$$\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{rect}(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} d t=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}=\operatorname{sinc}(f)$$

频域窗函数傅里叶反变换

$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{rect}(t) \cdot e^{j w t} d w=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} e^{j w t} d w=\frac{\sin (\frac{a}{2}t)}{\pi t}=\frac{2}{a\pi}\operatorname{sinc}(\frac{a}{2}t)$$

从这里可以看出时域窗函数傅里叶变换是Sinc function², 频域窗函数傅里叶反变换也是

离散傅里叶变换DFT⁶

周期为N的离散信号构成1个N维欧几里得空间⁷$\mathbb{C}^N$, 空间中连个信号(元素)的内积定义为

$$\langle x,y\rangle=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]y^*\left[n\right]$$

$\mathbb{C}^N$上的一组正交基如下, 周期为N的信号自由度只有N,这里$k$的选择只有N个值,$k=N,k=0$对应$kw=k\frac{2\pi}{N}$对应的正交基相同

$$\{e_k[n]=e^{i\frac{2\pi}{N}kn}\}_{0\leq k<N}$$

即对应的$e^{jkwn}$,连续信号是$e^{jkwt}$
正交性证明如下,使用等比数列求和公式即可证明

$$\begin{aligned}\left\langle e^{j k_1 \omega n}, e^{j k_2 \omega n}\right\rangle &=\sum_{n=0}^{N-1} e^{j k_1 \omega n} \cdot e^{-j k_2 \omega n} \\ &=\sum_{n=0}^{N-1} e^{j(k_1-k_2) \omega n} =\left\{\begin{array}{ll}{N} & {k_1=k_2} \\ {0} & {k_1 \neq k_2}\end{array}\right.\end{aligned}$$

将信号$x$在正交基上分解得到

$$x=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\|e_k\|^2}e_k$$

令$\hat{x}[k]=\langle x,e_k\rangle=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}$,即离散傅里叶变换

同时离散傅里叶变换的逆变换为

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\hat{x}[k]e^{i\frac{2\pi}{N}kn}$$

另外一种解释,对于周期为$N$的信号$x$,分解如下, 对应自由度只有N,所以系数$k$只需要选择N个,再选即为重复

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\left\langle x[n],e^{jkwn}\right\rangle}{\left\langle e^{jkwn},e^{jkwn}\right\rangle}e^{jkwn}=\frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkwn})e^{jkwn}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}(\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkwn})e^{jkwn}$$

对应内部为离散傅里叶变换DFT,外部为IDFT
同样$k$可以选择为$m_1,m_2$,分别为0左右负和正数($m_1=-\frac{N}{2}, m_2=\frac{N}{2}$),距离0基本一致,对于非周期信号

$$\mathop {\lim }\limits_{ N \to \infty }\frac{1}{N}\sum_{k=m_1}^{m_2}(\sum_{n=m_1}^{m_2}x[n]e^{-jkw_1n})e^{jkw_1n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-jwn})e^{jwn}dw$$

上式推导对应$w=kw_1=k\frac{2\pi}{N}$,当$k=-\frac{N}{2}$对应$w=-\pi$

可以证明负频率和正频率对应的DFT幅值相同,即$|X(f)|=|X(-f)|$,展开得到实数部分和虚数部分即可证明,所以DFT对应直流分量不变,非直流分量则是两倍

使用python可以很方便绘制频谱图,注意这里有系数$\frac{1}{N}$,才是对应正交基上的投影分量.而且这里只需要绘制到采样频率的1/2即奈奎斯特频率

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, fftfreq

# 生成示例信号
# 采样率
sample_rate = 1000.0  # 1000 Hz
# 采样点数
N = 1000
# 时间向量
t = np.linspace(0.0, N / sample_rate, N, endpoint=False)
# 生成频率为50 Hz和120 Hz的信号
signal = 1 + 1 * np.sin(50.0 * 2.0 * np.pi * t) + 0.4 * np.sin(120.0 * 2.0 * np.pi * t)

# 计算FFT
yf = fft(signal)
# 计算频率
xf = fftfreq(N, 1 / sample_rate)
# 正频率
yf_posi = 1 / N * yf[: N // 2]
yf_posi[1:] *= 2
xf_posi = xf[: N // 2]

plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 6), sharex="all")
# 双边频谱
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(xf, 1.0 / N * np.abs(yf))
plt.ylabel("Amplitude")
plt.grid()
# 仅绘制正频率部分
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(xf_posi, np.abs(yf_posi))
plt.grid()
plt.xlabel("Frequency (Hz)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.suptitle("Frequency Spectrum")
plt.show()

拉式变换

傅里叶变换要求时域绝对可积，为满足这个条件，在原函数前面乘一个指数衰减函数${e^{ - at}}$, $a$为满足收敛的任意实数。则傅里叶变换变成了

$$X(s) = \int_0^\infty x (t){e^{ - at}}{e^{ - jwt}}dt = \int_0^\infty x (t){e^{ - (a + jw)t}}dt = \int_0^\infty x (t){e^{ - st}}dt$$

拉式变换是傅里叶变换的推广，傅里叶变换是拉式变换在虚轴上的投影。

z变换

连续时间傅里叶变换针对连续信号，拉式变换解决了函数不可积问题，针对离散信号，积分变成求和，傅里叶变换变换为$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$同样函数需要满足绝对可和的条件，类似拉式变幻，这里乘${a^{ - n}}$,$a$为满足收敛的任意实数，则公式变为

$$\sum\limits_{n = - \infty }^\infty x [n]{a^{ - n}}{e^{ - j\omega n}} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty x [n]{(a{e^{j\omega }})^{ - n}} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty x [n]{z^{ - n}}$$

$z = a{e^{j\omega }}$是极坐标形式复数，定义为离散信号的复频率。可以看出$z$是在复平面上是一个圆。傅里叶变换定义域在虚轴，$z$变换定义在圆上。

至于为什么$z$变换不像拉式变换那样乘${e^{ - an}}$的原因还不太理解，可以参考⁵中的回答. z变换对应的频率响应可以直接把$z$替换为$e^{jw}$, 对于傅里叶变换则是把$s$替换为$jw$

引用

¹. https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_function ↩

². https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function ↩

³. https://blog.csdn.net/Einstellung/article/details/77478203 ↩

⁴. 纯干货数学推导_傅里叶级数与傅里叶变换 ↩

⁵. https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/103926934 ↩

⁶. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2 ↩

⁷. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%A9%BA%E9%97%B4 ↩

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