Github SSH Key避免Hexo部署输入密码

基本概念

• 动量: 物体质量与速度的乘积, $ L = r \cdot p$. 牛顿第二定理: 物体运动状态(动量)发生改变,表示物体受力,作用力的大小为动量$\mathbf P$的时变率, $\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$
• 角动量: 物体的位置矢量与动量的叉积, $r \times L$. 当物体的转动状态发生改变时，表示物体受到力矩作用，而力矩就等于角动量$\mathbf L$的时变率,$\boldsymbol{\tau}=\frac{d \mathbf{L}}{d t}$

欧拉运动定理

欧拉运动定理（Euler’s laws of motion）是牛顿运动定律 Newton’s laws of motion的延伸，可以应用于多粒子系统运动或刚体运动，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。

欧拉第一运动定理如下,可根据牛顿第二定理推导多粒子

$$\mathbf{F}^{(e x t)}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$$

欧拉第二运动定理

$$\tau_{O}^{(e x t)}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{O}}{\mathrm{~d} t}$$

惯性张量

1. 惯性张量推导
   角动量为物体的位置矢量与动量的叉积

   $$\begin{aligned} \mathbf{L} &=\mathbf{r} \times \mathbf{P} \\ &=\mathbf{r} \times(m \mathbf{v}) \\ &=-m \mathbf{r} \times(\mathbf{r} \times \mathbf{w}) \\ &=-m[\mathbf{r}]([\mathbf{r}] \mathbf{w}) \\ &=-m[\mathbf{r}]^{2} \mathbf{w} \end{aligned}$$

   则有物体的惯性张量计算公式

   $$\mathbf{I}=-m[\mathbf{r}]^{2}=m\left[\begin{array}{ccc} r_{y}^{2}+r_{z}^{2} & -r_{x} r_{y} & -r_{x} r_{z} \\ -r_{x} r_{y} & r_{x}^{2}+r_{z}^{2} & -r_{y} r_{z} \\ -r_{x} r_{z} & -r_{y} r_{z} & r_{x}^{2}+r_{y}^{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} I_{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\ I_{y x} & I_{y y} & I_{y z} \\ I_{z x} & I_{z y} & I_{z z} \end{array}\right]$$

   其中转动惯量

   $$\begin{array}{l} I_{x x} \stackrel{\text { def }}{=} \int\left(y^{2}+z^{2}\right) d m \\ I_{y y} \stackrel{\text { def }}{=} \int\left(x^{2}+z^{2}\right) d m \\ I_{z z} \stackrel{\text { def }}{=} \int\left(x^{2}+y^{2}\right) d m \end{array}$$

   矩阵对角元素,惯性积,有时候惯性矩前面没有负号

   $$\begin{array}{l} I_{x y}=I_{y x} \stackrel{\text { def }}{=}-\int x y d m \\ I_{x z}=I_{z x} \stackrel{\text { def }}{=}-\int x z d m \\ I_{y z}=I_{z y} \stackrel{\text { def }}{=}-\int y z d m \end{array}$$

   选取坐标系姿态使得惯性积为0,则对这个坐标系,惯性张量是对角型的,
   此坐标系称为惯性主轴,相应的惯性矩为主惯性矩

2. 惯性张量惯性张量在不同坐标系下的变换
   可由能量守恒定理推导

   $$\begin{aligned} \frac{1}{2} \omega_{c}^{T} \mathcal{I}_{c} \omega_{c} &=\frac{1}{2} \omega_{b}^{T} \mathcal{I}_{b} \omega_{b} \\ &=\frac{1}{2}\left(R_{b c} \omega_{c}\right)^{T} \mathcal{I}_{b}\left(R_{b c} \omega_{c}\right) \\ &=\frac{1}{2} \omega_{c}^{T}\left(R_{b c}^{T} \mathcal{I}_{b} R_{b c}\right) \omega_{c} \end{aligned}$$

   则有变换关系为

   $$\mathcal{I}_{c}=R_{c b} \mathcal{I}_{b} R_{c b}^{T}$$

   如果坐标系$\{c\}$的轴线不与惯性主轴对齐,则可以将惯性张量矩阵对角分解得到对角矩阵$\mathcal{I}_b$,又$R_{c b}$的列向量为坐标系$\{b\}$坐标轴在坐标系坐标系$\{c\}$下的表示,此列向量又是$\mathcal{I}_b$的特征向量

3. 欧拉力矩平衡方程推导

   $$\begin{aligned} \tau_{O}^{(e x t)}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{O}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}(\mathbf{I} \mathbf{w})}{\mathrm{d} t}=\dot{\mathbf{I}} \mathbf{w}+\mathbf{I} \mathbf{w} \\ \dot{\mathbf{I}}_{a} \mathbf{w}=\frac{\mathrm{d}\left(\mathbf{I}_{a}\right)}{\mathrm{d} t} \mathbf{w}=\frac{\mathrm{d}\left(R_{a b} \mathbf{I}_{b} R_{a b}^{\mathrm{T}}\right)}{\mathrm{d} t} \mathbf{w} &=\left([\mathbf{w}] R_{a b} \mathbf{I}_{b} R_{a b}^{\mathrm{T}}+R_{a b} \mathbf{I}_{b}\left([\mathbf{w}] R_{a b}\right)^{\mathrm{T}}\right) \mathbf{w} \\ &=[\mathbf{w}] \mathbf{I}_{a} \mathbf{w}+\mathbf{I}_{a}[\mathbf{w}]^{\mathrm{T}} \mathbf{w} \\ &=\mathbf{w} \times \mathbf{I} \mathbf{w} \end{aligned}$$

   其中坐标系$a$为世界坐标系,坐标系$b$为刚体质心坐标系,惯量矩阵$\mathbf I$在质心坐标系中不变,导数为0,质心坐标系相对世界坐标系姿态的求导为质心坐标系的在世界坐标系下的角速度,可参考角速度的推导

惯性张量性质

1. 坐标系姿态改变时,若A与C共原点,则$^{A} \mathbf{I}=_{C}^{A} \mathbf{R}^{C} \mathbf{I}_{C}^{A} \mathbf{R}^{\mathrm{T}}$

2. 惯性张量的特征值和特征向量分别是刚体对应的主惯性矩和惯性主轴

   可用平行移轴矢量形式和定义证明

   $$^{A} \mathbf{I}=^{C} \mathbf{I}+m\left(\mathbf{p}_{c}^{\mathrm{T}} \mathbf{p}_{c} \mathbf{I}_{3}-\mathbf{p}_{c} \mathbf{p}_{c}^{\mathrm{T}}\right)$$

   式中 $P_c$为行量 $[x, y, z]$

伪惯性矩阵

$$\overline{\mathbf{I}}=\iiint_{V} \mathbf{r r}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} m$$

式中$r$为行向量$[x, y, z, 1]$

$$\overline{\mathbf{I}}=\iiint_{V}\left[\begin{array}{cccc} {x^{2}} & {x y} & {x z} & {x} \\ {x y} & {y^{2}} & {y z} & {y} \\ {x z} & {y z} & {z^{2}} & {z} \\ {x} & {y} & {z} & {1} \end{array}\right] \mathrm{d} m$$

引用

1. 转动惯量
2. 干货 | 机械臂的动力学（一）：牛顿欧拉法
3. 刚体质量分布与牛顿-欧拉方程
4. 机器人学 建模 控制与视觉 熊友伦 华中科技大学出版社
5. Modern Robotics mechanics,planning,and control

---

转载请注明来源，欢迎对文章中的引用来源进行考证，欢迎指出任何有错误或不够清晰的表达。可以邮件至 yangbenbo@whu.edu.cn