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• 根轨迹定义
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• 应用
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根轨迹定义

一个基本的反馈系统传递函数为

$$\frac{Y(s)}{R(s)}=\mathcal{T}(s)=\frac{D_{c}(s) G(s)}{1+D_{c}(s) G(s) H(s)}$$

极点为分母等于0时对应的根,换一种方式,求解根在K从0到无穷大对应的轨迹,
就可以得到不同K下系统的极点,从而得到系统的脉冲响应函数

$$1+K L(s)=0 \text { where } L(s)=\frac{b(s)}{a(s)}$$

根轨迹不局限于系统增益K,也可以求解相对于任何在特征方程中线性的参数的根轨迹

比如在求解K=1是不同c下的根轨迹

$$1+G(s)=1+\frac{1}{s(s+c)}$$ $$1+c \frac{s}{s^{2}+1}=0$$

根轨迹准则

L(s)

• b(s) 极点个数为n 用x表示
• a(s) 零点个数为m 用o表示

1. n条根轨迹从L(s)极点出发,m条轨迹终止于L(s)零点;
   n>m,则有n-m条根轨迹从极点指向无穷,反之m-n条轨迹从无穷指向零点

   从根轨迹公式 $a(s)+K b(s)=0$ 可以得出K=0时,a(s)=0,即为L(s)的极点,K趋向于无穷时,b(s)=0,为L(s)的零点

2. 根轨迹在实轴上从左往右奇数点左边有根轨迹.

   根轨迹方程的一种表示 $L(s)=-\frac{1}{K}$ 从复数相位看左边的相位=右边的相位=180°

   • 用$\psi_{i}$表示零点对应项在复平面上任意一点对应的相角度,即零点指向对应点构成向量的角度

   • 用$\phi_{i}$表示极点对应项在复平面上任意一点对应的相角度,即极点点指向对应点构成向量的角度

     $$\sum \psi_{i}-\sum \phi_{i}=180^{\circ}+360^{\circ}(l-1)$$

     为保证相位不难理解实轴上根轨迹需要在奇数点左边
     

3. 对于很大的s和K,n-m条根轨迹的渐近线为从实轴上中心点 $s=\alpha$出发的射线,射线角度 $\phi_{l}$

   $$\begin{aligned} \phi_{l} &=\frac{180^{\circ}+360^{\circ}(l-1)}{n-m}, \quad l=1,2, \ldots, n-m \\ \alpha &=\frac{\sum p_{i}-\sum z_{i}}{n-m} \end{aligned}$$

   当K很大时变换根轨迹方程

   $$1+K \frac{\Pi_{i=1}^{m}\left(s-z_{i}\right)}{(s-\alpha)^{n-m} \Pi_{i=1}^{m}\left(s-z_{i}\right)}=0$$

   从而得到

   $$\begin{aligned} &(n-m) \alpha+\sum z_{i}=\sum p_{i}\\ &\alpha=\frac{\sum p_{i}-\sum z_{i}}{n-m} \end{aligned}$$

4. 一或多个极点从一个点离开的方向

   $$q \phi_{l, d e p}=\sum \psi_{i}-\sum \phi_{i}-180^{\circ}-360^{\circ}(l-1)$$

   可以用一个很靠近极点的点来推导角度,到达零点的方向也可类似推导

   $$q \psi_{l, a r r}=\sum \phi_{i}-\sum \psi_{i}+180^{\circ}+360^{\circ}(l-1)$$

   可用于靠近虚轴方向的判断,看是否忘复平面左边走

5. 同一个点可以有q个根,从点离开的方向

   $$\frac{180^{\circ}+360^{\circ}(l-1)}{q}$$

应用

$$H(s)=\frac{s-z}{s-p}$$

• 超前补偿器:|z|<|p|
• 滞后补偿器:|p|<|z|
  可以看补偿器的伯德图来理解

引用

1. Feedback Control of Dynamic Systems by Gene F. Franklin
2. DR_CAN自动控制原理

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