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• 卡尔曼滤波基本原理
• 理论推导
  • 高斯分布融合
  • 计算值和测量值融合
• 引用

卡尔曼滤波基本原理

现实中存在很多不确定性：

• 不存在完美的数学模型
• 系统的扰动不可控，也很难建模
• 测量的传感器存在误差

卡尔曼滤波就是融合同一值的多个不确定性得到更准确的值，这里可以是模型计算值和测量值融合。参考知乎解释如何通俗并尽可能详细地解释卡尔曼滤波？ - Kent Zeng的回答

用两个传感器同时测一个数值，最终结果可以取平均值，如果其中一个传感器更准确，取加权平均，加权的系数根据两个传感器的噪声分布（高斯分布）确定。实际中是数学模型计算出一个值，传感器测量出一个值，把这个两个值进行高斯分布的融合，得到的值的概率分布的方差更小（数据更准确）

理论推导

高斯分布融合

两个一维高斯分布的融合就是概率的乘积然后归一化。一维高斯分布方程为$\mathcal{N}(x, \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(z-\mu)^{2} }{2 \sigma^{2}} }$。融合得到

$${\cal N}\left( {x,{\mu _0},{\sigma _0}} \right) \cdot {\cal N}\left( {x,{\mu _1},{\sigma _1}} \right) = {\cal N}\left( {x,{\mu ^\prime },{\sigma ^\prime }} \right)$$

其中

$${\mu ^\prime } = {\mu _0} + { {\sigma _0^2\left( { {\mu _1} - {\mu _0} } \right)} \over {\sigma _0^2 + \sigma _1^2} }$$ $${\sigma ^{\prime 2} } = \sigma _0^2 - { {\sigma _0^4} \over {\sigma _0^2 + \sigma _1^2} }$$

令${\bf{k}} = { {\sigma _0^2} \over {\sigma _0^2 + \sigma _1^2}}$则有

$${\mu ^\prime } = {\mu _0} + {\bf{k} }\left( { {\mu _1} - {\mu _0} } \right)$$ $${\sigma ^{\prime 2} } = \sigma _0^2 - {\bf{k} }\sigma _0^2$$

写成矩阵形式

$$\begin{array}{l} \mathbf{K}=\Sigma_{0}\left(\Sigma_{0}+\Sigma_{1}\right)^{-1} \\ \vec{\mu}^{\prime}=\overrightarrow{\mu_{0}}+\mathbf{K}\left(\overrightarrow{\mu_{1}}-\overrightarrow{\mu_{0}}\right) \\ \Sigma^{\prime}=\Sigma_{0}-\mathbf{K} \Sigma_{0} \end{array}$$

其中$\mathbf{K}$为卡尔曼增益。

计算值和测量值融合

连续系统的状态空间方程

$${ {\dot X}_t} = A{X_x} + B{U_t}$$ $${Z_t} = H{X_t}$$

其中$X$为系统的状态，$U$为系统的输入，$Z$传感器测量值，$H$状态到测量值的转换举证，由于传感器示数和状态的单位或者刻度不一样，$H$可能不是单位举证。

转换为离散形式，具体转换过程就叙述了，注意不是简单的替换，这里只是为了方便说明。

1. 计算值

   $${X_k} = A{X_{k - 1}} + B{U_k} + {w_{k - 1}}$$ $${Z_k} = H{X_k}$$

   其中$w = {\cal N}(0,Q)$是由于模型不确定性和干扰带来的过程噪音

   设$Cov({X_k}) = {P_k}$为${X_k}$的协方差矩阵，又认为$U$的的协方差为0，并且和状态无关，过程噪声和状态也没有关系，则有${P_k} = A{P_{k - 1}}{A^{\rm{T}}}$
   所以就算值的协方差矩阵为

   $$Cov({Z_k}) = H{P_k}{H^{\rm{T}}}$$

   综上，计算值的概率分布为

   $$({\mu _0},{\Sigma _0}) = {\cal N}({H_k}{X_k},{H_k}{P_k}{H_k}^{\rm{T}})$$

2. 测量值
   测量值的概率分布为，$({\mu _1},{\Sigma _1}) = {\cal N}({Z_k},{R_k})$
   其中$R$为传感的噪声的方差

3. 融合计算值和测量值
   借助上面高斯分布融合公式得到如下公式，用估计值作为计算值迭代求解下次估计值，初始状态估计值的均值的协方差可以大概给一个，会随着迭代次增加接近真实值。

   $${\bf{\hat K}} = {P_k}H_k^T{\left( { {H_k}{P_k}H_k^T + {R_k} } \right)^{ - 1} }$$ $${ {\hat X}_k} = {X_k} + {\bf{\hat K} }\left( { {Z_k} - {H_k}{X_k} } \right)$$ $${ {\hat P}_k} = {P_k} - {\bf{\hat K} }{H_k}{P_k}$$

引用

1. 卡尔曼滤波器 视频详解
2. How a Kalman filter works, in pictures
3. 详解卡尔曼滤波原理

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