Github SSH Key避免Hexo部署输入密码

矩阵复特征值含义¹

考虑微分方程$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}$, 如果2x2矩阵$A$的特征值为复数$\lambda$, 可推得特征向量$\mathbf{x}$也是复数(通过$Ax=\lambda x$),特解$\mathbf{u}=e^{\lambda t}\mathbf{x}$, 同理可以推导得到$\bar{\mathbf{u}}$也是特解,所以通解为

$$y=c_1\mathbf{u}+c_2\bar{\mathbf{u}}$$

这里可以通过假设两个特解线性相关, 推导得到特征向量必须为实数,这与实际相悖,所系线性无关

由于实际解$y$为实数, 可以根据已经得到的解进行组合得到另外的形式, 比如取实部和虚部
$Re(\mathbf{u})=\frac{1}{2}(\mathbf{u}+\bar{\mathbf{u}})$
$Im(\mathbf{u})=\frac{1}{2i}(\mathbf{u}-\bar{\mathbf{u}})$
同理也可以证明线性无关, 所以最后通解$y=c_1Re(\mathbf{u})+c_2Im(\mathbf{u})$, 其中系数由初始条件决定

线性无关也可以通过可逆矩阵进行证明,即

$$\begin{bmatrix} Re(\mathbf{u}) & Im(\mathbf{u}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{u} & \bar{\mathbf{u}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2i} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2i} \end{bmatrix}$$

可以得到如下表示, 即两组基可以相互表示,充满解空间, 本生向量空间乘可逆矩阵不会改变空间维度,右乘可逆矩阵不改变向量的列空间$C(A)$, 左乘可逆矩阵不改变向量的行空间$C(A^T)$
$
\begin{bmatrix}
Re(\mathbf{u}) & Im(\mathbf{u})
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{u} & \bar{\mathbf{u}}
\end{bmatrix}B
$
$
\begin{bmatrix}
Re(\mathbf{u}) & Im(\mathbf{u})
\end{bmatrix}B^{-1}=\begin{bmatrix}
\mathbf{u} & \bar{\mathbf{u}}
\end{bmatrix}
$

¹. https://ccjou.wordpress.com/2010/06/07/%e8%a7%a3%e8%ae%80%e8%a4%87%e6%95%b8%e7%89%b9%e5%be%b5%e5%80%bc/ ↩

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